若$A$和$B$是两个良序集，则下面三种情形有且仅有一种成立：

1.$A$与$B$序同构.

2.$A$与$B$的一节序同构.

3.$B$与$A$的一节序同构.

 

 

证明思路：根据中的定理，1,2,3中的任两者不会同时成立.下面我证明1,2,3必成立其一.

 

引理1：良序集$A$和$B$,$a\in A$,$b\in B$,$\{x:x\in A,x\prec a\}$与$\{x:x\in B,x\prec b\}$序同构.若$a$唯一，则$b$唯一.

证明：假如对于唯一的$a$,存在两个$b$，记做$b_1,b_2$.设$b_1\prec b_2$.易得$\{x:x\in B,x\prec b_1\}$和$\{x:x\in B,x\prec b_2\}$序同构.但是由中的定理，我们知道$\{x:x\in B,x\prec b_1\}$是$\{x:x\in B,x\prec b_2\}$的一节，两者不可能序同构.

 

引理2：$A$是良序集，$I$是一个集合.$\forall \alpha\in I$,$M_{\alpha}$都是$A$的一节.若$\bigcup_{\alpha\in I}M_{\alpha}$有严格上界，则$\bigcup_{\alpha\in I}M_{\alpha}$也是$A$的一节.

证明：$\bigcup_{\alpha\in I}M_{\alpha}$有严格上界，说明$A\backslash \bigcup_{\alpha\in I}M_{\alpha}$是一个非空良序集，设$m$为$A\backslash\bigcup_{\alpha\in I}M_{\alpha}$的最小元.可得$\{x:x\in A,x\prec m\}\subset \bigcup_{\alpha\in I}M_{\alpha}$.下证$\forall p\succ m$,$p\not\in\bigcup_{\alpha\in I}M_{\alpha}$,否则，$\exists\beta\in I$,使得$p\in M_{\beta}$，则$m\in M_{\beta}$,矛盾.所以，$\forall p\succ m$,$p\not\in\bigcup_{\alpha\in I}M_{\alpha}$.可见$\{x:x\in A,x\prec m\}=\bigcup_{\alpha\in I}M_{\alpha}$

 

引理3：良序集$A$和$B$.$A$与$B$的一节序同构当且仅当$\forall a\in A$,$\exists b\in B$,使得$\{x:x\in A,x\prec a\}$与$\{x:x\in B,x\prec b\}$序同构，（由引理1我们知道对于固定的每个$a$,相应的$b$总是唯一的.所有$b$组成一个集合$B_1$（根据中的替换公理,我们知道所有$b$能组成一个集合）且$B_1$有上界

证明：$\Rightarrow$:令$A$与$\{x:x\in B,x\prec m\}$序同构，易得，$m$即为$B_1$的严格上界.

$\Leftarrow$:由引理2很容易得出

 

引理4：良序集$A$和$B$序同构当且仅当$\forall a\in A$,$\exists b\in B$,使得$\{x:x\in A,x\prec A\}$与$\{x:x\in B,x\prec b\}$序同构，（由引理1我们知道对于每个固定的$a$,相应的$b$总是唯一的.所有$b$组成一个集合$B_1$(根据ZF公理里的替换公理,我们知道所有$b$能组成一个集合））且$B_1$没有上界.

引理4是显然的，证明略去.综合引理3和引理4，我们得到

引理5：良序集$A$和$B$,"存在$A$到$B$的一节的序同构或者$A$到$B$的序同构"的充要条件是$\forall a\in A$,$\exists b\in B$,使$\{x:x\in A,x\prec a\}$与$\{x:x\in B,x\prec b\}$序同构.

下面我们看命题"存在$A$到$B$的一节序同构或者$A$到$B$的序同构"的否定.要否定这个命题，就是否定其等价命题.该命题的否定叙述如下：

命题1： $\exists a_1\in A$,使得$\forall b_1\in B$,$\{x:x\in A,x\prec a_1\}$与$\{x:x\in B,x\prec b_1\}$无法序同构.

我们的任务是，证明命题1等价于

命题2：$A,B$是良序集,存在$B$到$A$的一节的序同构.

证明：命题2$\Rightarrow$命题1 是容易的.

命题1$\Rightarrow$命题2：所有满足条件的$a_1$形成一个良序集，记为$A_1$.$A_1$的最小元是$m_1$.易得存在从$\{x:x\in A,x\prec m_1\}$到$\{x:x\in B,x\prec n_1\}$的序同构.下证$B=\{x:x\in B,x\prec n_1\}$.否则由于$B\backslash\{x:x\in B,x\prec n_1\}$是良序集，该良序集的最小元是$n_1$，我们知道在$\{x:x\in A,x\preceq m_1\}$和$\{x:x\in B,x\preceq n_1\}$之间存在序同构.矛盾.因此$B=\{x:x\in B,x\prec n_1\}$,因此$B$与$A$的一节序同构.

因此，“$A$与$B$的一节序同构或$A$与$B$序同构"的否定是"$B$与$A$的一节序同构".而且容易证明"$A$与$B$的一节序同构"，"$A$与$B$序同构"，"$B$与$A$的一节序同构"互为互斥事件.因此命题得证.

 

注:上面的证明过于繁琐，我现在用寥寥几句话概括一下上面证明的框架.

1.引理1和引理2是作为铺垫的.

2.”$A$与$B$的一节序同构"与引理3等价."$A$与$B$序同构“与引理4等价.而”引理3成立或引理4成立=引理5成立“引理5的反面是命题1，命题1与命题2等价.